← Kembali ke Olimpiade Sains Kota (OSK) 2017 - Komputer

Olimpiade Sains Kota (OSK) 2017 - Komputer, Nomor 1

Berapakah banyaknya bilangan antara 1-1000, inklusif, dimana perkalian digit-digitnya merupakan
bilangan positif kelipatan 10?
a. 157
b. 156
c. 155
d. 154
e. 153

9 jawaban

Noya Aldiputera8 tahun lalu

Jika ingin mendownvote, jangan lupa juga untuk komen tentang kesalahannya. That'll be helpful for everyone, don't let that be a habit.

Misalkan terdapat suatu bilangan $\overline{abc}$ . Perhatikan bahwa $10=2^1\times5^1$ , dapat dipastikan untuk bilangan-bilangan yang merupakan kelipatan dari 10 adalah bilangan yang dibagikan dengan angka 5 dan suatu angka genap. Kita tahu bahwa di dalam rentang interval $[1,9]$ tidak terdapat angka yang hasil kali digitnya merupakan kelipatan dari 10. Telusuri kasus untuk bilangan dengan 2 digit:

Kasus 2 Digit ( $\overline{ab}$ ):

Untuk kasus $b=5$ , agar perkalian digit-digitnya merupakan kelipatan 10, maka $a$ harus genap. Karena bilangan-bilangan genap pada angka $a$ hanya terdapat 4 bilangan, maka didapat 4 bilangan.
Untuk kasus $a=5$ , agar perkalian digit-digitnya merupakan kelipatan 10, maka $b$ harus genap. Sama halnya dengan kasus $b=5$ , kasus $a=5$ hanya terdapat 4 bilangan. Sehingga didapat 8 bilangan dalam rentang $[10,99]$

Selanjutnya, evaluasikan untuk kasus 3 digit.

Kasus 3 Digit ( $\overline{abc}$ ):

Ingat kembali bahwa angka yang kelipatan dari 10 adalah angka yang dikali dengan 5 dan angka genap. Hanya terdapat 2 kasus agar jika salah satu dari digit $\overline{abc}$ adalah 5 maka perkalian digit lainnya adalah angka genap. Perhatikan bahwa $genap \times genap = genap$ dan $genap \times ganjl = genap$ .

Kasus dimana $c=5$ : Dalam $b=genap$ dan $a=genap/ganjil$ , terdapat $4\times9=36$ angka yang memenuhi. Dalam $b=ganjil$ dan $a=genap$ , terdapat $4\times5=20$ angka yang memenuhi. Sehingga $36+20=56$ .

Sama halnya dengan menghitung $c=5$ , maka jika dihitung untuk $b=5$ dan $a=5$ maka terdapat $56\times3=168$ bilangan. Perhatikan terdapat kemungkinan beririsan jika kita menghitung dengan perhitungan yang sama. Perhitungan-perhitungan tersebut ialah:

Kasus $a=5$ dan $b=5$ . Perhitungan beririsan ini dihitung saat $a=5$ dan $b=5$ . Kita tahu bahwa $c$ pasti genap, sehingga hanya terdapat 4 bilangan yang beririsan. Kurangi dengan 4 didapat $168-4=164$ .
Kasus $a=5$ dan $c=5$ , maka kurangi juga didapat $164-4=160.$
Kasus $b=5$ dan $c=5$ , maka dikurangi juga didapat $160-4=156$

Kita dapatkan 156 bilangan sebagai kasus 3 digit. Jumlahkan semua didapat $156+8=164$ .

Masuk untuk menulis jawaban