← Kembali ke Olimpiade Sains Kota (OSK) 2009 - Komputer

Olimpiade Sains Kota (OSK) 2009 - Komputer, Nomor 1

Jika untuk bilangan-bilangan bulat positif x, y, dan z, berlaku (y + z)/3 < x, dan x < y < z < 10. Manakah harga (x+y+z) berikut ini yang tidak memenuhi?

A. 23

B. 20

C. 21

D. 24

E. 22

5 jawaban

Noya Aldiputera8 tahun lalu

Jika ingin mendownvote, jangan lupa juga untuk komen tentang kesalahannya. That'll be helpful for everyone, don't let that be a habit.

Dari persamaan $\frac{y+z}{3}<x$ diperoleh $y+z<3x$ yang dimana $y+z$ selalu kurang dari kelipatan 3 kali $x$ .

Karena $x<10$ , kita tahu bahwa nilai $x$ untuk 8 dan 9 tidak memenuhi karena $y$ dan $z$ tidak bisa dua-duanya 9 dan 8. (dari pertidaksamaan $x<y<z<10$ )

Perhatikan untuk kasus $x\leq 7$ semua bilangan bulat non-negatif $x$ (dikarenakan keterangan berupa nilai maksimum positif). Karena $x, y, z$ masing-masing adalah bilangan "bulat" positif, maka kita mengetahui bahwa $y+z$ adalah bilangan bulat. Dimulai dari $x$ maksimum:

1) Untuk $x=7$ , kita tahu bahwa $y+z<21$ , dengan masing-masing kemungkinan:

$y+z = 20$ , $y+z = 19$ , $y+z = 18$ , $\dots$

Tinjau untuk $y+z = 20$ , karena kemungkinan $y=10\pm c$ dan $x=10\mp c$ (dengan konstanta c bilangan bulat), maka solusi ini tidak mungkin untuk persyaratan pertidaksamaan. Dapat diketahui bahwa $y+z$ untuk 19 dan 18 tidak memenuhi karena untuk 19 (misalkan $y$ adalah 9), maka $y=9\pm c$ dan $z=10\mp c$ tidak memenuhi. Dan untuk 18, $y=9\pm c$ dan $x=9\mp c$ adalah solusi yang tidak memungkinkan. Kita tahu bahwa untuk semua $y+z\leq 17$ dan $y+z> 16$ selalu memenuhi pertidaksamaan diatas. Sehingga semua kombinasi $x+y+z$ yang tidak memenuhi adalah 27, 26, dan 25. Kombinasi-kombinasi yang hanya memenuhi $x=7$ adalah 24 dengan $y+z=17$ .

2) Untuk $x=6$ , kita tahu bahwa $y+z<18$ , dengan masing-masing kemungkinan:

$y+z=17$ , $y+z=16$ , $y+z=15$ , $\dots$

Tinjau untuk $y+z=17$ , kita peroleh $y=8\pm c$ dan $x=9\mp c$ yang memenuhi solusi tersebut. Sehingga $x+y+z$ adalah $6+8+9=23$ . Dapat disimpulkan bahwa $y+z\leq 17$ dan $y+z> 14$ selalu memenuhi pertidaksamaan diatas. Kita tahu bahwa semua kombinasi $x+y+z$ yang memenuhi adalah 23, 22, 21.

3) Untuk $x=5$ , kita tahu bahwa $y+z<15$ . Karena solusi yang memenuhi adalah $y+z\leq 14$ dan $y+z> 12$ , kombinasi-kombinasi $x+y+z$ lain untuk $x=5$ yang memenuhi ini kurang dari 19.

Alhasil diperoleh $20$ adalah solusi $x+y+z$ yang tidak memenuhi.

Masuk untuk menulis jawaban