Olimpiade Sains Provinsi (OSP) 2017 - Komputer, Nomor 1

menurut saya :

111^112^113=((111)^112)^113=111^112*113=111^12656 pangkatnya di mod dengan 6 jadi hasilnya adalah 

12656 mod 10=6  maka ditemukan hasil bahwa digit kedua dari belakang dari persamaan tersebut adalah 6

pola bilangan 111 dua angka terakhir adalah

111^1=11

111^2=21

.

.

111^10=01

111^112^113

Pertama, cari pola digit kedua terakhir dari 111 yang dipangkatkan:

111^1= ...11

111^2= ...21

111^3= ...31

Berarti digit ke-2 terakhirnya sama dengan digit terakhir pangkatnya. Lalu selesaikan 112^113 dulu, tapi cukup ambil satuannya saja. Jadi 112^113 mod 10 ==> 2^113 mod 10.

Pola digit terakhir bilangan pangkat 2 yaitu

2^1= 2

2^2= 4

2^3= 8

2^4= 6

2^5= kembali lagi ke 2.

Jadi 2^113, 113 kita mod dengan 4 hasilnya 1. 2^1 digit terakhirnya sudah pasti 2. 

Lalu kembali ke 111 nya, menjadi 111^2 yang berarti digit ke-2 terakhirnya 2

Ada yang bilang...

Sehingga, kita tidak boleh merubah bentuknya menjadi:

Maka, salah satu solusinya yaitu memakai sifat:

Dimana, kita anggap bahwa:

 dan 

Sehingga bentuknya menjadi:

Maka, Kerjakan terlebih dahulu yang ada di dalam tanda bracket.

Sehingga:

Maka jawabannya yaitu 61.

111^112^113 mod 100 = ((111 mod 100)^112^113) mod 100 = (11^112^113) mod 100

nah, kita lihat pola 11 pangkat itu, kan polanya gini:

11 mod 100 = 11

11² mod 100 = 21

11³ mod 100 = 31

.

.

11¹⁰ mod 100 = 1

11¹¹ mod 100 = 11

11¹² mod 100 = 21

berarti kan polanya kan gini ya 11ⁿ mod 100 = 11^{(n mod 10)} mod 100

11^112^113 mod 100 = 11^(112^113 mod 10) mod 100

berarti kita cari 112¹¹³ mod 10

112¹¹³ mod 10 = (112 mod 10)¹¹³ mod 10

112¹¹³ mod 10 = 2¹¹³ mod 10

kan pola 2 pangkat itu setiap pangkat 4 ya, berarti 2¹¹³ mod 10 = 2 ^{(113 mod 4)} mod 10 = 2 mod 10 = 2

berarti 11^112^113 mod 100 = 11^(112^113 mod 10) mod 100 = 11² mod 100 = 21

jadi, digit kedua dari belakangnya adalah 2