Olimpiade Sains Nasional (OSN) 2014 - Matematika SMA

Bilangan-bilangan 1, 2, …, 9 akan ditempatkan ke dalam papan catur berukuran 3×3. Mungkinkah bilangan-bilangan ini ditempatkan sehingga setiap dua persegi yang bertetangga baik secara vertikal ataupun horizontal, jumlah dari dua bilangan yang ada di dalamnya selalu prima?

Lihat 1 jawaban →

Misalkan m,n bilangan asli sehingga sistem persamaan

$\begin{align*} x+y^2 &= m \\ x^2 + y &=n \end{align*}$

memiliki tepat satu solusi bulat (x,y). Tentukan semua nilai yang mungkin bagi m-n.

Jawab →

Diberikan trapesium ABCD dengan AB sejajar CD dan AB < CD. Misalkan diagonal AC dan BD bertemu di E dan misalkan garis AD dan BC bertemu di titik F. Bangun jajar genjang AEDK dan BECL. Buktikan bahwa garis EF melalui titik tengah segmen KL.

Jawab →

Tentukan semua polinom dengan koefisien bulat $P(x)$ sehingga untuk setiap bilangan asli $a, b, c$ yang merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku, berlaku $P(a), P(b), P({c})$ juga merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku.

Catatan: Jika $c$ sisi miring, $P({c})$ tidak harus merupakan sisi miring.

Jawab →

Suatu barisan bilangan asli a1,a2,a3, ... memenuhi ak+al=am+an untuk setiap bilangan asli k,l,m,n dengan kl=mn. JIka m membagi n, buktikan bahwa $am \le an$

Diberikas segitiga ABC dengan AD sebagai garis bagi dalam $\angle$ BAC. Misalkan titik M dan N berturut-turut pada AB dan AC sehingga $\angle$ MDA= $\angle$ ABC dan $\angle$ NDA= $\angle$ ACB. Jika P merupakan titik potong dari garis AD dan garis MN, buktikan bahwa

$AD^3=AB \cdot AC\cdot AP.$

Misalkan merupakan bilangan asli dengan $k \le n$ . Buktikan bahwa

$\sum_{r=0}^m \frac{k\binom{m}{r}\binom{n}{k}}{(r+k)\binom{m+n}{r+k}}=1$

Jawab →

Suatu bilangan asli disebut cantik jika dapat dinyatakan dalam bentuk

$\frac{x^2+y^2}{x+y}$

untuk suatu bilangan asli dan yang berbeda,

(a) Tunjukkan bahwa 2014 dapat dituliskan sebagai perkalian bilangan cantik dan bilangan tidak cantik.

(b) Buktikan bahwa hasil perkalian dua bilangan tidak cantik tetap tidak cantik

Jawab →