Olimpiade Sains Nasional (OSN) 2014 - Matematika SMA

1

Bilangan-bilangan 1, 2, …, 9 akan ditempatkan ke dalam papan catur berukuran 3×3. Mungkinkah bilangan-bilangan ini ditempatkan sehingga setiap dua persegi yang bertetangga baik secara vertikal ataupun horizontal, jumlah dari dua bilangan yang ada di dalamnya selalu prima?

2

Misalkan m,n bilangan asli sehingga sistem persamaan

\begin{align*} x+y^2 &= m \\ x^2 + y &=n \end{align*}

memiliki tepat satu solusi bulat (x,y). Tentukan semua nilai yang mungkin bagi m-n.
3

Diberikan trapesium ABCD dengan AB sejajar CD dan AB < CD. Misalkan diagonal AC dan BD bertemu di E dan misalkan garis AD dan BC bertemu di titik F. Bangun jajar genjang AEDK dan BECL. Buktikan bahwa garis EF melalui titik tengah segmen KL.

4

Tentukan semua polinom dengan koefisien bulat P(x) sehingga untuk setiap bilangan asli a, b, c yang merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku, berlakuP(a), P(b), P({c}) juga merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku.

Catatan: Jika c sisi miring, P({c}) tidak harus merupakan sisi miring.

5

Suatu barisan bilangan asli a1,a2,a3, ... memenuhi ak+al=am+an untuk setiap bilangan asli k,l,m,n dengan kl=mn. JIka m membagi n, buktikan bahwa am \le an

6

Diberikas segitiga ABC dengan AD sebagai garis bagi dalam \angleBAC. Misalkan titik M dan N berturut-turut pada AB dan AC sehingga \angleMDA=\angleABC dan \angleNDA=\angleACB. Jika P merupakan titik potong dari garis AD dan garis MN, buktikan bahwa

 

AD^3=AB \cdot AC\cdot AP.

7

Misalkan k,m,n merupakan bilangan asli dengan k \le n. Buktikan bahwa

\sum_{r=0}^m \frac{k\binom{m}{r}\binom{n}{k}}{(r+k)\binom{m+n}{r+k}}=1.

8

Suatu bilangan asli disebut cantik jika dapat dinyatakan dalam bentuk

\frac{x^2+y^2}{x+y}

 

 untuk suatu bilangan asli x dan y yang berbeda,

(a) Tunjukkan bahwa 2014 dapat dituliskan sebagai perkalian bilangan cantik dan bilangan tidak cantik.

(b) Buktikan bahwa hasil perkalian dua bilangan tidak cantik tetap tidak cantik