Olimpiade Sains Nasional (OSN) 2015 - Matematika SMA

1

Albert, Bernard dan Cheryl sedang bermain kelereng. Di awal permainan, masing-masing membawa 5 kelereng merah, 7 kelereng hijau dan 13 kelereng biru, sedangkan di kotak kelereng ada tak berhingga banyaknya kelereng. Pada satu langkah setiap anak diberi kebebasan membuang dua kelereng yang berbeda warna, kemudian menggantinya dengan dua kelereng dengan warna ketiga. Sebagai contoh, satu kelereng hijau dan satu kelereng merah dibuang, kemudian dua kelereng biru diambil dari kotak. Setelah serangkaian langkah (banyaknya langkah yang dilakukan masing-masing anak boleh berbeda) terjadilah percakapan berikut.

 

Albert: "Saya hanya membawa kelereng berwarna merah."

 

Bernard: "Saya hanya membawa kelereng berwarna biru."

 

Cheryl: "Saya hanya membawa kelereng berwarna hijau."

 

Siapa sajakah yang pasti berbohong?

2

Untuk setiap bilangan asli a dan b notasikan dengan [a,b] kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b dan notasikan dengan (a,b) kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b. Tentukan semua bilangan asli n yang memenuhi 4\sum_{k=1}^{n}[n,k]=1+\sum_{k=1}^{n}(n,k)+2n^2\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n,k)}.

3

Diberikan segitiga lancip ABC. Lingkaran \Gamma_B adalah lingkaran yang melewati AB dan menyinggung AC pada A dan berpusat di O_B. Definisikan yang serupa untuk \Gamma_C dan O_C. Misalkan garis tinggi dari segitiga ABC dari B dan C memotong lingkaran luar segitiga ABC di X dan Y. Buktikan bahwa A, titik tengah XY, dan titik tengah O_BO_C segaris.

4

Misalkan pasangan fungsi f,g:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+ memenuhi persamaan fungsi f\left\(g(x)y+f(x)\right\)=(y+2015)f(x) untuk setiap x,y\in\mathbb{R}^+.

a. Buktikan bahwa f(x)=2015g(x) untuk setiap x\in\mathbb{R}^+.

b. Berikan sebuah contoh pasangan fungsi yang memenuhi persamaan di atas dan f(x),g(x)\geq 1 untuk setiap x\in\mathbb{R}^+.

5

Misalkan a,b,c,d adalah bilangan asli sehingga a| c^d dan b|d^c. Buktikan bahwa ab|(cd)^{maks(a,b)}.

Catatan: {maks(a,b)} menyatakan nilai terbesar a atau b.

6

Diberikan segitiga lancip ABC dengan lingkaran luar O. Garis AO memotong lingkaran luar segitiga ABC lagi di D. Misalkan P titik pada sisi BC. Garis melalui P yang tegak lurus AP memotong garis DB dan DC berturut-turut di titik E dan F. Garis melalui D tegak lurus BC memotong EF di titik Q. Buktikan bahwa EQ=FQ jika dan hanya jika BP=CP.

7

Untuk a,b,c bilangan real positif, buktikan ketaksamaan \sqrt{\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}}\geq 3.

8

Diketahui ada 3 gedung berbentuk sama yang lokasinya membentuk segitiga sama sisi. Masing-masing gedung memiliki 2015 lantai dengan setiap lantainya tepat memiliki 1 jendela. Di semua gedung tersebut, setiap lantainya tepat mempunyai satu penghuni kecuali lantai 1 yang tidak berpenghuni.

 

Semua kusen jendela ini akan diwarnai dengan salah satu dari merah, hijau, atau biru. Dari setiap lantai, sang penghuni dapat melihat warna jendela kedua gedung lainnya untuk lantai yang sama dan satu lantai tepat di bawahnya. Misalnya, penghuni lantai 10 dapat melihat jendela lantai 9 dan 10 untuk kedua gedung lainnya, sehingga totalnya 4 jendela. Tetapi, sang penghuni tidak dapat melihat warna jendelanya sendiri maupun jendela lantai lain di gedungnya sendiri.

 

Kita ingin mewarnai jendela-jendela tersebut agar setiap penghuni dapat melihat paling sedikit 1 jendela dari setiap warna. Ada berapa cara mewarnai jendela tersebut?