International Mathematic Olympiad (2016)

Segitiga BCF siku-siku di sudut B. Misalkan A adalah titik pada garis CF sehingga FA=FB dan F terletak di antara A dan C. Titik D dipilih sehingga DA=DC dan AC adalah garis bagi ?DAB. Titik E dipilih sehingga EA=ED dan AD adalah garis bagi ?EAC. Misalkan M adalah titik tengah CF. Misalkan X adalah suatu titik sehingga AMXE merupakan jajargenjang (dimana AM sejajar dengan EX dan AE sejajar dengan MX). Buktikan bahwa garis BD, FX, dan ME berpotongan di satu titik.

Cari semua bilangan asli n sehingga setiap kotak dari tabel n×n dapat diisi dengan salah satu dari huruf I,M, dan O sedemikian sehingga:

• Di setiap baris dan kolom, sepertiga di antaranya berisi I, sepertiga di antaranya berisi M, dan sepertiga di antaranya berisi O; dan
• Pada setiap diagonal, jika banyaknya kotak pada diagonal tersebut merupakan kelipatan 3, maka sepertiga di antaranya berisi I, sepertiga di antaranya berisi M dan sepertiga di antaranya berisi O

Catatan: Baris dan kolom dari suatu tabel masing-masing dilabeli dengan 1 sampai n secara berurutan. Maka setiap kotak dilabeli dengan suatu pasangan bilangan asli (i,j) dengan i?i,j?n. Untuk n>1, tabel tersebut memiliki 4n?2 diagonal yang terdiri atas dua tipe. Suatu diagonal tipe pertama memuat semua kotak (i,j) dengan i+j konstan, dan suatu diagonal tipe kedua memuat semua kotak (i,j) dengan i?j konstan.

Misalkan adalah suatu poligon konveks pada bidang. Titik-titik sudut mempunyai koordinat bilangan bulat dan terletak pada sebuah lingkaran. Misalkan adalah luas dari . Suatu bilangan asli ganjil diberikan sedemikian sehingga kuadrat setiap sisi dari adalah bilangan bulat yang habis dibagi . Buktikan bahwa addalah bilangan bulat yang habis dibagi .

Suatu himpunan bilangan asli dikatakan harum jika memiliki setidaknya dua anggota dan masing-masing anggota mempunyai faktor prima persekutuan dengan setidaknya satu anggota lainnya. Misalkan . Berapakah bilangan asli yang mungkin agar terdapat suatu bilangan bulat non-negatif sehingga himpunan

harum?

Persamaan

ditulis di papan, dengan 2016 faktor linear pada masing-masing sisi. Berapakah bilangan asli terkecil supaya dimungkinkan untuk menghapus tepat  dari 4032 faktor linear tersebut sedemikian sehingga masing-masing sisi memiliki setidaknya satu faktor dan persamaan yang tersisa tidak mempunyai solusi real?

Terdapat segmen garis pada bidang sehingga setiap dua segmen berpotongan, dan tidak ada tiga segmen yang bertemu pada satu titik. Cecep harus memilih salah satu titik ujung dari masing-masing segmen dan meletakkan seekor katak disana, menghadap ke titik ujung lainnya. Kemudian dia akan bertepuk tangan sebanyak kali. Setiap kali dia bertepuk tangan, masing-masing katak akan melompat maju ke titik potong berikutnya pada segmen tersebut. Katak tidak pernah mengubah arat lompatannya. Cecep ingin meletakkan katak-katak tersebut sedemikian sehingga tidak ada dua katak yang menempati titik perpotongan yang sama pada saat yang sama.

• Buktikan bahwa keinginan Cecep dapat selalu terpenuhi jika ganjil
• Buktikan bahwa keinginan Cecep tidak akan pernah terpenuhi jika genap