International Mathematic Olympiad (2016)

1

Segitiga BCF siku-siku di sudut B. Misalkan A adalah titik pada garis CF sehingga FA=FB dan F terletak di antara A dan C. Titik D dipilih sehingga DA=DC dan AC adalah garis bagi ?DAB. Titik E dipilih sehingga EA=ED dan AD adalah garis bagi ?EAC. Misalkan M adalah titik tengah CF. Misalkan X adalah suatu titik sehingga AMXE merupakan jajargenjang (dimana AM sejajar dengan EX dan AE sejajar dengan MX). Buktikan bahwa garis BD, FX, dan ME berpotongan di satu titik.

Jawab

2

Cari semua bilangan asli n sehingga setiap kotak dari tabel n×n dapat diisi dengan salah satu dari huruf I,M, dan O sedemikian sehingga:

Di setiap baris dan kolom, sepertiga di antaranya berisi I, sepertiga di antaranya berisi M, dan sepertiga di antaranya berisi O; dan
Pada setiap diagonal, jika banyaknya kotak pada diagonal tersebut merupakan kelipatan 3, maka sepertiga di antaranya berisi I, sepertiga di antaranya berisi M dan sepertiga di antaranya berisi O

Catatan: Baris dan kolom dari suatu tabel $N \times N$ masing-masing dilabeli dengan 1 sampai n secara berurutan. Maka setiap kotak dilabeli dengan suatu pasangan bilangan asli (i,j) dengan i?i,j?n. Untuk n>1, tabel tersebut memiliki 4n?2 diagonal yang terdiri atas dua tipe. Suatu diagonal tipe pertama memuat semua kotak (i,j) dengan i+j konstan, dan suatu diagonal tipe kedua memuat semua kotak (i,j) dengan i?j konstan.

Jawab

3

Misalkan $P = A_1A_2 ... A_k$ adalah suatu poligon konveks pada bidang. Titik-titik sudut $A_1,A_2, ..., A_k$ mempunyai koordinat bilangan bulat dan terletak pada sebuah lingkaran. Misalkan $S$ adalah luas dari $P$ . Suatu bilangan asli ganjil $n$ diberikan sedemikian sehingga kuadrat setiap sisi dari $P$ adalah bilangan bulat yang habis dibagi $n$ . Buktikan bahwa $2S$ addalah bilangan bulat yang habis dibagi $n$ .

Jawab

4

Suatu himpunan bilangan asli dikatakan harum jika memiliki setidaknya dua anggota dan masing-masing anggota mempunyai faktor prima persekutuan dengan setidaknya satu anggota lainnya. Misalkan $P(n) = n^2 + n + 1$ . Berapakah bilangan asli $b$ yang mungkin agar terdapat suatu bilangan bulat non-negatif $a$ sehingga himpunan

${P(a+1), P(a+2), ... , P(a+b)}$

harum?

Jawab

5

Persamaan

$(x-1)(x-2)...(x-2016) = (x-1)(x-2)...(x-2016)$

ditulis di papan, dengan 2016 faktor linear pada masing-masing sisi. Berapakah bilangan asli terkecil $k$ supaya dimungkinkan untuk menghapus tepat $k$ dari 4032 faktor linear tersebut sedemikian sehingga masing-masing sisi memiliki setidaknya satu faktor dan persamaan yang tersisa tidak mempunyai solusi real?

Jawab

6

Terdapat $n \ge 2$ segmen garis pada bidang sehingga setiap dua segmen berpotongan, dan tidak ada tiga segmen yang bertemu pada satu titik. Cecep harus memilih salah satu titik ujung dari masing-masing segmen dan meletakkan seekor katak disana, menghadap ke titik ujung lainnya. Kemudian dia akan bertepuk tangan sebanyak $n-1$ kali. Setiap kali dia bertepuk tangan, masing-masing katak akan melompat maju ke titik potong berikutnya pada segmen tersebut. Katak tidak pernah mengubah arat lompatannya. Cecep ingin meletakkan katak-katak tersebut sedemikian sehingga tidak ada dua katak yang menempati titik perpotongan yang sama pada saat yang sama.

Buktikan bahwa keinginan Cecep dapat selalu terpenuhi jika $n$ ganjil
Buktikan bahwa keinginan Cecep tidak akan pernah terpenuhi jika $n$ genap

Jawab