Olimpiade Sains Kota (OSK) 2016 - Matematika

1

Jika a, b, c, d, e merupakan bilangan asli dengan a < 2b, b < 3c, c < 4d, d < 5e dan e < 100, maka nilai maksimum dari a adalah ....

2

Rudi membuat bilangan asli dua digit. Probabilitas bahwa kedua digit bilangan tersebut merupakan bilangan prima dan bilangan tersebut bersisa 3 jika dibagi 7 adalah ....

3

Pada segitiga ABC, titik M terletak pada BC sehingga AB = 7, AM = 3, BM = 5, dan MC = 6. Panjang sisi AC adalah ....

4

Diberikan a dan b bilangan real dengan \sqrt{a} - \sqrt{b} = 20. Nilai maksimum dari a - 5b adalah ....

5

Pada segitiga ABC, titik-titik X, Y, dan Z berturut-turut terletak pada sinar BA, CB, dan AC sehingga BX = 2BA, CY = 2CB, dan AZ = 2AC. Jika luas \bigtriangleup ABC adalah 1, maka luas \bigtriangleup XYZ adalah ....

6

Banyaknya bilangan asli n yang memenuhi sifat hasil jumlah n dan suatu pembagi positif n yang kurang dari n sama dengan 2016 adalah ....

7

Misalkan a adalah bilangan real sehingga polinomial p(x) = x4 + 4x + a habis dibagi oleh (x - c)2 untuk suatu bilangan real c. Nilai a yang memenuhi adalah ....

8

Anak laki-laki dan anak perempuan yang berjumlah 48 orang duduk melingkar secara acak. Banyak minimum anak perempuan sehingga pasti ada enam anak perempuan yang duduk berdekatan tanpa diselingi anak laki-laki adalah ....

9

Misalkan (a, b, c, d, e, f) adalah sebarang pengurutan dari (1, 2, 3, 4, 5, 6). Banyaknya pengurutan sehingga  a + c + e > b + d + f  adalah ....

10

Misalkan n1, n2, n3,... bilangan-bilangan asli yang membentuk barisan aritmetika. Banyaknya nilai di himpunan {1, 2, 3,..., 1000} yang mungkin menjadi nilai n_{n_{2}} - n_{n_{1}} adalah ....

11

Segitiga ABC mempunyai panjang sisi AB = 20, AC = 21, dan BC = 29. Titik D dan E terletak pada segmen garis BC, dengan BD = 8 dan EC = 9. Besar \angle DAE adalah .... derajat

12

Bilangan real t sehingga terdapat dengan tunggal tripel bilangan real (x, y, z) yang memenuhi x2 + 2y2 = 3z dan x + y + z = t adalah ....

13

Palindrom adalah bilangan yang sama dibaca dari depan atau dari belakang. Sebagai contoh 12321 dan 32223 merupakan palindrom. Palindrom 5 digit terbesar yang habis dibagi 303 adalah ....

14

Diberikan barisan {an} dan {bn} dengan a_{n} = \frac{1}{n\sqrt{n}} dan b_{n} = \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) + \sqrt{1 + \frac{1}{n}}}, untuk setiap bilangan asli n. Misalkan Sn = a1b1 + a2b2 + ... + anbn. Banyaknya bilangan asli n dengan n \leq 2016 sehingga Sn merupakan bilangan rasional adalah ....

15

Diberikan persegi ABCD dengan panjang sisi 1. Titik K dan L berturut-turut terletak pada segmen garis BC dan DC sehingga keliling dari \bigtriangleup KCL adalah 2. Luas minimum dari \bigtriangleup AKL adalah ....

16

Banyaknya pasangan terurut bilangan asli (a, b, c) dengan (a, b, c) \in {1, 2, 3, 4, 5} sehingga

max\left \{a,b,c \right \} < 2\; min\left \{ a,b,c \right \}

adalah ....

17

Banyaknya bilangan asli n \in {1, 2, ... , 1000} sehingga terdapat bilangan real positif yang memenuhi x^{2}+\left \lfloor x \right \rfloor^{2}=n adalah ....

18

Misalakan x, y, z bilangan real positif yang memenuhi

3 \log _{x} (3y) = 3 \log _{3x} (27z) = \log _{3x^{4}} (81yz) \neq 0

Nilai dari x5y4z adalah ....

19

Diberikan empat titik pada satu lingkaran \Gamma dalam A, B, C, D. Sinar garis AB dan DC berpotongan di E, dan sinar garis AD dan BC berpotongan di F. Misalkan EP dan FQ menyinggung lingkaran \Gamma berturut-turut di P dan Q. Misalkan pula bahwa EP = 60 dan FQ = 63, maka panjang EF adalah ....

20

Pada sebuah bidang datar, terdapat 16 garis berbeda dan n titik potong berbeda. Nilai minimal n sehingga dapat dipastikan terdapat 3 kelompok garis yang masing-masing memuat garis-garis berbeda yang saling sejajar adalah ....