Olimpiade Sains Kota (OSK) 2015 - Matematika SMA

1

Banyaknya faktor bulat positif dari 2015 adalah ....

2

Suatu dadu ditos enam kali. Probabilitas jumlah mata yang muncul 9 adalah ....

3

Jika (f o g)(x) = \frac{7x+3}{5x-9} dan g(x) = 2x – 4, maka nilai f(2) adalah ....

4

Diberikan trapesium ABCD, dengan AB sejajar DC dan AB = 84 serta DC = 25. Jika trapesium ABCD memiliki lingkaran dalam yang menyinggung keempat sisinya, keliling trapesium ABCD adalah ....

5

Diketahui barisan bilangan real a1, a2, ... , an, ... merupakan barisan geometri. Jika a1 + a4 = 20, maka nilai minimal dari a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 adalah ...

6

Bilangan bulat x jika dikalikan 11 terletak diantara 1500 dan 2000. Jika x dikalikan 7 terletak antara 970 dan 1275. Jika x dikalikan 5 terletak antara 960 dan 900. Banyaknya bilangan x sedemikian yang habis dibagi 3 sekaligus habis dibagi 5 ada sebanyak ...

7

Suatu sekolah mempunyai lima kelompok belajar siswa kelas 11. Kelompok-kelompok belajar itu berturut-turut mengirimkan 2, 2, 2, 3, dan 3 siswa untuk suatu pertemuan. Mereka akan duduk melingkar sehingga setiap siswa memiliki paling sedikit satu teman dari kelompok belajar yang sama yang duduk disampingnya. Banyaknya cara melakukan hal tersebut adalah ...

8

Diberikan segitiga ABC dengan sudut ABC = 90o. Lingkaran L1 dengan AB sebagai diameter sedangkan lingkaran L2 dengan BC sebagai diameternya. Kedua lingkaran L1 dan L2 berpotongan di B dan P. Jika AB = 5, BC = 12 dan BP = x, maka nilai dari \frac{240}{x} adalah ...

9

Diketahui bilangan real positif a dan b memenuhi persamaan a4 + a2b2 + b4 = 6 dan a2 + ab + b2 = 4.

Nilai dari a + b adalah ...

10

Diketahui susunan 4 × 5 titik yang jarak ke kanan sama dan jarak ke bawah sama. Ada berapa segitiga (dengan luas positif) yang titik-titik sudutnya adalah ketiga titik pada susunan tersebut?

11

Bilangan x adalah bilangan bulat positif terkecil yang membuat 31n + x · 96n merupakan kelipatan 2015 untuk setiap bilangan asli n. Nilai x adalah ...

12

Semua bilangan bulat n yang memenuhi

\frac{n^8+n^7+n^6+2n^5+2n^4+2n^3+2n^2+2017}{n^2-n+1}

bulat adalah ...

13

Diketahui a, b, c akar dari persamaan x3 - 5x2 - 9x + 10 = 0. Jika sukubanyak P(x) = Ax3 + Bx2 + Cx – 2015 memenuhi P(a) = b + c, P(b) = a + c, P(c) = a + b, maka nilai dari A + B + C adalah ...

14

Pada segitiga ABC, garis tinggi AD, garis bagi BE dan garis berat CF berpotongan di satu titik. Jika panjang AB = 4 dan BC = 5, dan CD = m2/n2 dengan m dan n relatif prima, maka nilai dari m - n adalah ...

15

Banyaknya bilangan asli n ≤ 2015 yang dapat dinyatakan dalam bentuk n = a + b dengan a, b bilangan asli yang memenuhi a – b bilangan prima dan ab bilangan kuadrat sempurna adalah ...

16

Tiga titik berbeda B, C, dan D terletak segaris dengan C diantara B dan D. Titik A adalah suatu titik yang tidak terletak digaris BD dan memenuhi |AB| = |AC| = |CD|. Jika diketahui

\frac{1}{|CD|} - \frac{1}{|BD|} = \frac{1}{|CD|+|BD|}

maka besar sudut ∠BAC adalah ...

17

Masing-masing kotak pada papan catur berukuran 3 × 3 dilabeli dengan satu angka, yaitu 1, 2, atau 3. Banyaknya penomoran yang mungkin sehingga jumlah angka pada masing-masing baris dan masing-masing kolom habis dibagi oleh 3 adalah ...

18

Pada segilima beraturan ABCDE, diagonal-diagonalnya berpotongan di F, G, H, I dan J. misalkan S1 menyatakan luas segilima ABCDE dan S2 menyatakan luas segilima FGHIJ. Jika \frac{S1}{S2} = \frac{m-\sqrt{n}}{k} , dengan k, m, n bilangan bulat positif dan n tidak memiliki faktor kuadrat selain 1, maka nilai dari k + m + n adalah ...

19

Suatu permutasi a1, a2, ..., a10 dari {1, 2, …, 10} dikatakan sebagai suatu permutasi yang hampir naik jika terdapat tepat satu indeks i sehingga ai-1 > ai. Banyaknya permutasi hampir naik yang mungkin adalah ...

20

Untuk setiap bilangan real a, didefinisikan f(a) sebagai nilai maksimal dari

\abs{sin x + \frac{2}{3+sin x} + a}

Nilai minimal dari f(a) adalah ….